中学から高校にかけて、いろいろな関数（函数）を学びます。初等関数と呼ばれるものです。もう少し難しいものを特殊関数と呼びます。
さらに超関数というものがあります。最も有名なディラックのデルタ関数は、原点での値が無限大で他での値が０という不思議なものですが、厳密に定義すれば強力な道具になります。
主な超関数の理論は二つあり、私はそのうち佐藤幹夫先生（京都大名誉教授）による「佐藤超関数」を学生時代に勉強しました。虚数を使うのが佐藤理論のミソです。
普通どんな数でも２乗したら０以上になります。例えば、マイナス１の２乗は１です。しかし、２乗したらマイナス１になる虚数単位「ｉ」というものを考えることができます。
「ｉ」の何とか倍に別の数を加えたものを複素数といいます。複素数の話と微分積分を組み合わせることで「複素関数論」というきれいな理論ができ、それに基づいて佐藤超関数の理論ができました。
私は佐藤超関数からは離れましたが、複素関数論はいまでも使っています。最近研究しているのは可積分系です。可積分系を調べるためには、「リーマン・ヒルベルト問題（ＲＨＰ）」が役立ちます。
複素数はｘプラス「ｉ」掛けるｙという形をしていますから、複素数と平面の点を対応させることができます（横軸がｘ、縦軸がｙ）。平面に適当な曲線を描き、それと相性のよい関数を見つけるというのがＲＨＰです。そのような曲線の一例を載せておきます。これは私の論文で使ったもので、可積分非線型シュレーディンガー方程式の解の時間無限大での様子を調べました。粒子のような振る舞いをする波（ソリトン）が現れます。
ＲＨＰを使う人は日本にはほとんどいませんが、中国には多く、そういう人が私を中国に招待してくれることがあります。私は中国で講演するとき、最初の挨拶だけは中国語で話したり、メールを中国語で書いたりするので、珍しがって招待してくれるようです。
中国出張のついでにＳＦ（特に天体力学の三体問題を扱ったベストセラー「三体」の著者である劉慈欣のもの）やミステリー、数学、物理の本を買うのを楽しみにしています。写真に写っているのは「特殊函数概論」「三体２ 黒暗森林」「文学少女対数学少女」です（あとの二つは今年中に日本語訳が出るそうです）。新型コロナウイルス感染症の流行が収まったら、また中国に行こうと思っています。
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April 20, 2020 at 03:30AM
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＜関学研究室から～神戸三田キャンパス＞理論が導く中国との絆 理工学部・山根英司教授 - 神戸新聞
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